世界十大數學難題，數學白痴的暴擊

數學這門學科，對很多學子來說可能都是一大難題，而對數學白痴而言，就可能是相當於在看天書了。在當今世界中，有十大數學難題難住了大部分人，你敢不敢和小編一起去民族文化中感受一下？

“千年大獎”七大數學難題：
　　1、NP完全問題
　　簡介：
　　NP就是Non-deterministicPolynomial的問題，也即是多項式複雜程度的非確定性問題。

而如果任何一個NP問題都能通過一個多項式時間演算法轉換為某個NP問題，那麼這個NP問題就稱為NP完全問題（Non-deterministicPolynomialcompleteproblem）。NP完全問題也叫做NPC問題。

有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。

這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。這就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。

完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣演算法的複雜程度，是指數關係，因此計算的時間隨問題的複雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。

人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題存在一個確定性演算法，可以在多項式時間內直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的演算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個演算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的演算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。

詳細資訊：
　　P類問題：所有可以在多項式時間內求解的判定問題構成P類問題。判定問題：判斷是否有一種能夠解決某一類問題的能行演算法的研究課題。

NP類問題：所有的非確定性多項式時間可解的判定問題構成NP類問題。非確定性演算法：非確定性演算法將問題分解成猜測和驗證兩個階段。演算法的猜測階段是非確定性的，演算法的驗證階段是確定性的，它驗證猜測階段給出解的正確性。設演算法A是解一個判定問題Q的非確定性演算法，如果A的驗證階段能在多項式時間內完成，則稱A是一個多項式時間非確定性演算法。有些計算問題是確定性的，例如加減乘除，只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式能推出下一個質數是多少呢？這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式（polynomial）時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。

NPC問題：NP中的某些問題的複雜性與整個類的複雜性相關聯.這些問題中任何一個如果存在多項式時間的演算法,那麼所有NP問題都是多項式時間可解的.這些問題被稱為NP-完全問題(NPC問題)。

例子：
　　在一個週六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。

生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。

人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

不管我們編寫程式是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和電腦科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克於1971年陳述的。

2、霍奇猜想
　　霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。

在非奇異復射影代數簇上,任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。

問題：
　　霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在霍奇的著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現於代數簇的情況（但不僅限於這種情況）。

背景：
　　二十世紀的數學家們發現了研究複雜物件的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定物件的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的物件進行分類時取得巨大的進展。

不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間型別來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

現狀：
　　黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P問題對NP問題被稱為21世紀七大數學難題。2000年5月，美國的克萊數學研究所為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一難題仍沒有被破解。

已知的情形：
　　對於(1，1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對於H^2成立。實際上，這是霍奇提出其猜想的動機之一。

3、龐加萊猜想
　　龐加萊猜想（Poincaréconjecture）是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題。其中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼於2003年左右證明。

2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。

陳述：
　　1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想：
　　“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。”

簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。

後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

猜想比喻：
　　如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：
　　我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。

我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們在這樣的球形房子裡。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裡。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。

好，接著我們繼續吹大這個氣球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是氣球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈裡·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之後，先後有2組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。

2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

4、黎曼假設
　　黎曼猜想是關於黎曼ζ函式ζ(s)的零點分佈的猜想，由數學家黎曼於1859年提出。希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的制高點，其中便包括黎曼假設。現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼猜想。

與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題。目前有訊息指奈及利亞教授奧派耶米伊諾克(OpeyemiEnoch)成功解決黎曼猜想，然而克雷數學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題。

歷史上關於黎曼猜想被證實的鬧劇時常傳出，近日所謂黎曼猜想被奈及利亞籍教授證明的網文中並沒有說明克雷數學研究所已經承認並授予獎金，克雷數學研究所官網目前並無任何表態，而學界專業評價趨於消極。

猜想來源：
　　黎曼猜想是黎曼1859年提出的，1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通訊院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為“論小於給定數值的素數個數”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分佈。素數又稱質數。質數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。這些數在數論研究中有著極大的重要性，因為所有大於1的正整數都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們在數論中的地位類似於物理世界中用以構築萬物的原子。質數的定義簡單得可以在中學甚至國小課上進行講授，但它們的分佈卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底瞭解。

黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了質數分佈的奧祕完全蘊藏在一個特殊的函式之中，尤其是使那個函式取值為零的一系列特殊的點對質數分佈的細緻規律有著決定性的影響。那個函式如今被稱為黎曼ζ函式，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函式的非平凡零點。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻並非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了一百五十多個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。

當然，如果僅從時間上比較的話，黎曼猜想的這個紀錄跟費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，還差得很遠。但黎曼猜想在數學上的重要性卻要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是極為罕有的。

黎曼猜想提出：
　　黎曼ζ函式的所有非平凡零點都位於複平面上Re(s)=1/2的直線上。也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中，數學家們把複平面上Re(s)=1/2的直線稱為criticalline（臨界線）。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函式的所有非平凡零點都位於criticalline上。

猜想驗證進展：
　　荷蘭三位數學家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函式的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣佈他們的結果，目前他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點。

1982年11月蘇聯數學家馬帝葉雪維奇在蘇聯雜誌《Kibernetika》宣佈，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關的數學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支援黎曼的猜想很可能是正確的。

1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌症去世前證明了No（T）>0.3474N（T）。

1980年中國數學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了No（T）>0.35N（T）。

黎曼假設之否認：
　　其實雖然因素數分佈而起，但是卻是一個歧途，因為偽素數及素數的普遍公式告訴我們，素數與偽素數由它們的變數集決定的。具體參見偽素數及素數詞條。

正式解決：
　　據英國《每日郵報》11月17日報道，近日，奈及利亞教授奧派耶米伊諾克(OpeyemiEnoch)成功解決已存在156年的數學難題——黎曼猜想，獲得100萬美元(約合人民幣630萬元)的獎金。

黎曼猜想由德國數學家黎曼(Bernard)於1859年提出，其中涉及了素數的分佈，被認為是世界上最困難的數學題之一。2000年，美國克萊數學研究所(ClayMathematicsInstitute)將黎曼猜想列為七大千年數學難題之一。

自從費馬大定理於20世紀90年代得以解決後，黎曼問題便成為數學界最著名、最受爭議的問題。該問題中最簡單的部分在於其中所有質數的分佈並不遵循規律。

伊諾克博士在奈及利亞某大學任教。他表示，自己在2010年取得關鍵性突破，這為後來能夠解決這一千年難題奠定了基礎。他說，自己之所以決定解決這一著名的數學難題不是為了獎金，而是因為自己的學生。正是因為學生們相信自己，他才開始嘗試解決這一數學難題。

然而，克萊數學研究所既不證實也不否認伊諾克博士正式解決了這一問題，只是簡單表示對這些千年數學難題的解決辦法不予評論。

5、楊－米爾斯存在性和質量缺口
　　楊-米爾斯（Yang-Mills）理論，是現代規範場理論的基礎，20世紀下半葉重要的物理突破，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為，是由物理學家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的。這個當時沒有被物理學界看重的理論，通過後來許多學者於1960到1970年代引入的對稱性自發破缺與漸進自由的觀念，發展成今天的標準模型。這一理論中出現的楊－米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。

作用：
　　它起源於對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論，已經為實驗所證實，特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經在實驗中發現。楊－米爾斯理論又為研究強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構提供了有力的工具。在某種意義上說，引力場也是一種規範場。所以這一理論在物理中的作用非常重要。

意義：
　　數學家注意到楊－米爾斯場中的規範勢恰是數學家在20世紀30～40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯絡。1975年以來數學家對楊－米爾斯方程進行了許多深入的研究，這些研究對於純粹數學的發展，也起了推動作用。

新觀念：
　　量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對巨集觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何物件的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

6、納衛爾-斯托可方程
　　納維-斯托克斯方程(Navier-Stokesequations)，以克勞德·路易·納維(Claude-LouisNavier)和喬治-蓋伯利爾-斯托克斯命名，是一組描述象液體和空氣這樣的流體物質的方程，簡稱N-S方程，是世界七大數學難題之一。因1821年由C.-L.-M.-H.納維建立和1845年由G.G.斯托克斯改進而得名。

方程意義：
　　方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似於摩擦力)以及重力之間的關係。這些粘滯力產生於分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維-斯托克斯方程描述作用於液體任意給定區域的力的動態平衡，這在流體力學中有十分重要的意義。

它們是最有用的一組方程之一，因為它們描述了大量對學術和經濟有用的現象的物理過程。它們可以用於建模天氣，洋流，管道中的水流，星系中恆星的運動，翼型周圍的氣流。它們也可以用於飛行器和車輛的設計，血液迴圈的研究，電站的設計，汙染效應的分析，等等。

方程中的奧祕：
　　起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納衛爾-斯托可方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納衛爾-斯托可方程方程中的奧祕。

方程描述：
　　納維-斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運動。這些方程，和代數方程不同，不尋求建立所研究的變數（譬如速度和壓力）的關係，而是建立這些量的變化率或通量之間的關係。用數學術語來講，這些變化率對應於變數的導數。

這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明加速度（速度的導數，或者說變化率）是和內部壓力的導數成正比的。這表示對於給定的物理問題的納維-斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。實用上，只有最簡單的情況才能用這種方法解答，而它們的確切答案是已知的。這些情況通常設計穩定態（流場不隨時間變化）的非湍流，其中流體的粘滯係數很大或者其速度很小（小的雷諾數）。

對於更復雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統或機翼的升力，納維?斯托克斯方程的解必須藉助計算機。這本身是一個科學領域，稱為計算流體力學。

雖然湍流是日常經驗中就可以遇到的，但這類問題極難求解。一個$1,000,000的大獎由克雷數學學院於2000年5月設立，獎給對於能夠幫助理解這一現象的數學理論作出實質性進展的任何人。

7、BSD猜想
　　BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想（BirchandSwinnerton-Dyer猜想），它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯絡。

猜想陳述：
　　給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等於它的L函式在1處的零點階數，且它的L函式在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的週期以及沙群有精確的等式關係。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch-Kato猜想。

　　已知結果：
　　BSD猜想的陳述依賴於莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部分依賴於沙群的有限性猜想。

　　對於解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2以外均成立。

　　對於解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。

　　猜想的推論：
　　由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中最著名的是與同餘數問題的關係，從BSD猜想可以推出模8餘5，6，7的平方自由的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。

　　數學家總是被諸如那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解。

　　當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函式z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0，那麼存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等於0。那麼只存在著有限多個這樣的點。

　　近代三大數學難題：
　　1、費馬大定理
　　費馬大定理起源於三百多年前，挑戰人類3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，也讓千千萬萬業餘者痴迷。終於在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫過一本著名的“算術”，經歷中世紀的愚昧黑暗到文藝復興的時候，“算術”的殘本重新被發現研究。

　　1637年，法國業餘大數學家費爾馬（PierredeFremat）在“算術”的關於勾股數問題的頁邊上，寫下猜想：x^n＋y^n＝z^n是不可能的（這裡n大於2；a，b，c，n都是非零整數)。此猜想後來就稱為費馬大定理。費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。

　　一般公認，他當時不可能有正確的證明。猜想提出後，經尤拉等數代天才努力，200年間只解決了n＝3，4，5，7四種情形。1847年，庫木爾創立“代數數論”這一現代重要學科，對許多n（例如100以內）證明了費爾馬大定理，是一次大飛躍。

　　歷史上費馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最後時刻挽救自殺青年於不死。他就是德國的沃爾夫斯克勒，他後來為費爾馬大定理設懸賞10萬馬克（相當於現在160萬美元多），期限1908－2007年。無數人耗盡心力，空留浩嘆。最現代的電腦加數學技巧，驗證了400萬以內的N，但這對最終證明無濟於事。1983年德國的法爾廷斯證明了：對任一固定的n，最多隻有有限多個a，b，c振動了世界，獲得費爾茲獎（數學界最高獎）。

　　歷史的新轉機發生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了：費爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想”之中。童年就痴迷於此的懷爾斯，聞此立刻潛心於頂樓書房7年，曲折卓絕，彙集了20世紀數論所有的突破性成果。終於在1993年6月23日劍橋大學牛頓研究所的“世紀演講”最後，宣佈證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。

　　不幸的是，數月後逐漸發現此證明有漏洞，一時更成世界焦點。這個證明體系是千萬個深奧數學推理連線成千個最現代的定理、事實和計算所組成的千百迴轉的邏輯網路，任何一環節的問題都會導致前功盡棄。懷爾斯絕境搏鬥，毫無出路。

　　1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發表在美國《數學年刊》第142卷，實際佔滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎(1996、3），美國國家科學家院獎（1996、6），費爾茲特別獎（1998、8）。

　　2、四色定理
　　四色定理的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”用數學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”這裡所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

　　四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思裡來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

　　1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家漢密爾頓爵士請教。漢密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

　　1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

　　肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇於一點，這種地圖就說是“正規的”。如為正規地圖，否則為非正規地圖。一張地圖往往是由正規地圖和非正規地圖聯絡在一起，但非正規地圖所需顏色種數一般不超過正規地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規五色地圖就足夠了。

　　肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規的五色地圖，就會存在一張國數最少的“極小正規五色地圖”，如果極小正規五色地圖中有一個國家的鄰國數少於六個，就會存在一張國數較少的正規地圖仍為五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數，也就不存在正規五色地圖了。這樣肯普就認為他已經證明了“四色問題”，但是後來人們發現他錯了。

　　不過肯普的證明闡明瞭兩個重要的概念，對以後問題的解決提供了途徑。第一個概念是“構形”。他證明了在每一張正規地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規地圖，也就是說，由兩個鄰國，三個鄰國、四個或五個鄰國組成的一組“構形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構形中的一個。

　　肯普提出的另一個概念是“可約”性。“可約”這個詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個鄰國，就會有國數減少的五色地圖。自從引入“構形”，“可約”概念後，逐步發展了檢查構形以決定是否可約的一些標準方法，能夠尋求可約構形的不可避免組，是證明“四色問題”的重要依據。但要證明大的構形可約，需要檢查大量的細節，這是相當複雜的。

　　11年後，即1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國具有五個鄰國的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發現他們實際上證明了一個較弱的命題——五色定理。就是說對地圖著色，用五種顏色就夠了。

　　後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

　　進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，美國著名數學家、哈佛大學的伯克霍夫利用肯普的想法，結合自己新的設想；證明了某些大的構形可約。後來美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。

　　高速數字計算機的發明，促使更多數學家對“四色問題”的研究。從1936年就開始研究四色猜想的海克，公開宣稱四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來證明。他的學生丟雷寫了一個計算程式，海克不僅能用這程式產生的資料來證明構形可約，而且描繪可約構形的方法是從改造地圖成為數學上稱為“對偶”形著手。

　　他把每個國家的首都標出來，然後把相鄰國家的首都用一條越過邊界的鐵路連線起來，除首都(稱為頂點)及鐵路(稱為弧或邊)外，擦掉其他所有的線，剩下的稱為原圖的對偶圖。到了六十年代後期，海克引進一個類似於在電網路中移動電荷的方法來求構形的不可避免組。

　　在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現的“放電法”，這對以後關於不可避免組的研究是個關鍵，也是證明四色定理的中心要素。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。

　　美國伊利諾大學哈肯在1970年著手改進“放電過程”，後與阿佩爾合作編制一個很好的程式。就在1976年6月，他們在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明，轟動了世界。

　　這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特製郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。“四色問題”的被證明僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數學史上一系列新思維的起點。

　　在“四色問題”的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。如將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，“四色問題”在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程式上都起到了推動作用。

　　不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。直到現在，仍由不少數學家和數學愛好者在尋找更簡潔的證明方法。

　　3、哥德巴赫猜想
　　史上和質數有關的數學猜想中，最著名的當然就是“哥德巴赫猜想”了。

　　1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家尤拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：（1）任何不小於6的偶數，都是兩個奇質數之和；（2）任何不小於9的奇數，都是三個奇質數之和。

　　這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。

　　同年6月30日，尤拉在給哥德巴赫的回信中，明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是尤拉當時還無法給出證明。由於尤拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。

　　從那以後，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力於證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

　　我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對於更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？於是人們逐步改變了探究問題的方式。

　　1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此後，20世紀的數學家們在世界範圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終於取得了輝煌的成果。

　　20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所採用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最後的結果。

　　1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9＋9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9＋9”是怎麼回事呢？所謂“9＋9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之積。”從這個“9＋9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最後的目標就是“1＋1”了。

　　1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，我國數學家王元證明了“2＋3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1＋5”，同年又和王元合作證明了“1＋4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1＋3”。

　　1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1＋2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。

　　由於陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最後結果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實現這最後的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1＋1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。