世界十大數學難題，世界上最難的數學題

在人類的歷史發展和社會生活中，數學發揮著不可替代的作用，同時它也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。而在漫長的歲月裡，有十個數學難題始終如數學王冠上的明珠，又如數學宮殿的高牆，對人類既有著無窮的吸引力，又總是令人類百思不解，折磨著人類的求知慾和好奇心，挑戰著人類的智慧。那麼今天的民族文化就為你介紹，那些世界上最難的數學題。（部分圖文無關）

NP完全問題（NP－C問題）

NP完全問題（NP－C問題），是世界七大數學難題之一。NP的英文全稱是Non－deterministic Polynomial的問題，即多項式複雜程度的非確定性問題。簡單的寫法是NP＝P？，問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。

NP就是Non－deterministic Polynomial的問題，也即是多項式複雜程度的非確定性問題。而如果任何一個NP問題都能通過一個多項式時間演算法轉換為某個NP問題，那麼這個NP問題就稱為NP完全問題（Non－deterministic Polynomialcompleteproblem）。NP完全問題也叫做NPC問題。

有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來的。例如尋找大質數的問題。有沒有一個公式，一旦套入公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再例如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代入以後，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。

這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。這就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。

完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣演算法的複雜程度，是指數關係，因此計算的時間隨問題的複雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。

人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題存在一個確定性演算法，可以在多項式時間內直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP＝P？的猜想。

解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的演算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個演算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的演算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。

當今時代，在純粹科學研究，通訊、交通運輸、工業設計和企事業管理部門，在社會軍事、政治和商業的鬥爭中湧現出大量的NP問題。若按經典的純粹數學家們所熟悉的窮舉方法求解，則計算時間動輒達到天文數字，根本沒有實用價值。

也因此，在數學界中有許多有經驗的人認為，對於這些問題，根本上就不存在完整、精確、而又不是太慢的求解演算法。由此可見，NP＝P？可能是這個世紀最重要的數學問題了。

霍奇猜想

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想，屬於世界七大數學難題之一。

二十世紀的數學家們發現了研究複雜物件的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定物件的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。

這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的各種的物件進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。

霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間型別來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。可以說霍奇猜想集中體現了現代數學發展中抽象特徵在滾雪球般擴大的趨勢。

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在霍奇的著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現於代數簇的情況（但不僅限於這種情況）。

對於（1，1）類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對於H＾2成立。實際上，這是霍奇提出其猜想的動機之一。除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對於度數p的霍奇類成立，其中p＜n，n是上述射影代數簇的維數，那麼對於度數為2n－p的霍奇類，霍奇猜想也成立。

如今，霍奇猜想名列21世紀七大數學難題之一。2000年5月，美國的克萊數學研究所為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一難題仍沒有被破解，但可以預見的是，與阿蒂亞－辛格指標定理一樣，霍奇猜想的解決將在數學三大分支即分析、拓撲、代數幾何之間找到某種基本的內在聯絡。

龐加萊猜想

龐加萊猜想（Poincaré conjecture）是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，其中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼於2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想：“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。”簡單地說，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。

後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

20世紀以來，懷特海、賓、哈肯、莫伊澤和帕帕奇拉克普羅斯等優秀的數學家均嘗試對龐加萊猜想進行證明，這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓撲學這門學科。

一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。2000年5月24日，美國克雷數學研究所（Clay Mathematical Institute）的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一。

俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼在花了8年時間研究這個足有一個世紀的數學難題後，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關鍵論文的手稿貼上到arXiv.org這個專門刊登數學和物理預印本論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家，聲稱自己證明了幾何化猜想。

到2005年10月，數位專家宣佈驗證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經達成。2006年，在佩雷爾曼公佈他的3篇文章中的第一篇之後近4年，專家們終於達成了共識：佩雷爾曼解決了這個學科最令人肅然起敬的問題之一。

龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果能夠加深人們對流形性質的認識。

黎曼假設

黎曼猜想是關於黎曼ζ函式ζ（s）的零點分佈的猜想，由數學家黎曼於1859年提出。希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的制高點，其中便包括黎曼假設。現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼猜想。

黎曼假說概述
　　有些數具有特殊的屬性，它們不能被表示為兩個較小的數字的乘積，如2，3，5，7，等等。這樣的數稱為素數（或質數），在純數學和應用數學領域，它們發揮了重要的作用。所有的自然數中的素數的分佈並不遵循任何規律。然而，德國數學家黎曼（1826—1866）觀察到，素數的頻率與一個複雜的函式密切相關。

ζ（s）＝1＋1/2S＋1/3S＋1/4S＋…被稱為黎曼Zeta函式。黎曼猜想認為所有素數都可以表示為一個函式。
　　ζ（s）＝0位於一條垂直直線上
　　這些是檢查自前10000000000000（1×10＾13）個解決方案的結果，證明它會帶來許多圍繞素數分佈的奧祕。但這個問題至今未獲得解決。

黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素數定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函式的零點都在直線Res（s）＝1/2上。他在作了一番努力而未能證明後便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。

但這一問題至今仍然未能解決，甚至於比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函式論和解析數論中的很多問題都依賴於黎曼假設。在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。

有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是極為罕有的。

與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想，可以說，黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題。

楊米爾斯的存在性和質量缺口

楊米爾斯的存在性和質量缺口是世界七大數學難題之一，問題起源於物理學中的楊·米爾斯理論。該問題的正式表述是：證明對任何緊的、單的規範群，四維歐幾里得空間中的楊米爾斯方程組有一個預言存在質量缺口的解。該問題的解決將闡明物理學家尚未完全理解的自然界的基本方面。

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對巨集觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，數學家楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何物件的數學之間的令人注目的關係。

基於楊－米爾斯方程的預言已經在包括布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波等全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實，但儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。

特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

楊·米爾斯理論

楊－米爾斯（Yang－Mills）理論，是現代規範場理論的基礎，20世紀下半葉重要的物理突破，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為，是由物理學家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的。

這個當時沒有被物理學界看重的理論，通過後來許多學者於1960到1970年代引入的對稱性自發破缺與漸進自由的觀念，發展成今天的標準模型。這一理論中出現的楊－米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。

楊·米爾斯理論起源於對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論，已經為實驗所證實，特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經在實驗中發現。

楊－米爾斯理論又為研究強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構提供了有力的工具。在某種意義上說，引力場也是一種規範場。所以這一理論在物理中的作用非常重要。1975年以來數學家對楊－米爾斯方程進行了許多深入的研究，這些研究對於純粹數學的發展，也起了推動作用。

納維－斯托克斯方程

納維－斯托克斯方程是一組描述象液體和空氣這樣的流體物質的方程，簡稱N－S方程，是世界七大數學難題之一。因1821年由C.－L.－M.－H.納維建立和1845年由G.G.斯托克斯改進而得名。

納維－斯托克斯方程建立了流體的粒子動量的改變率（加速度）和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力（類似於摩擦力）以及重力之間的關係。這些粘滯力產生於分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維－斯托克斯方程描述作用於液體任意給定區域的力的動態平衡，這在流體力學中有十分重要的意義。

納維－斯托克斯方程是最有用的一組方程之一，因為它們描述了大量對學術和經濟有用的現象的物理過程。它們可以用於建模天氣，洋流，管道中的水流，星系中恆星的運動，翼型周圍的氣流。它們也可以用於飛行器和車輛的設計，血液迴圈的研究，電站的設計，汙染效應的分析等等。

納維－斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運動。這些方程和代數方程不同，不尋求建立所研究的變數（譬如速度和壓力）的關係，而是建立這些量的變化率或通量之間的關係。用數學術語來講，這些變化率對應於變數的導數。

這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維－斯托克斯方程表明加速度（速度的導數，或者說變化率）是和內部壓力的導數成正比的。這表示對於給定的物理問題的納維－斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。

實用上，只有最簡單的情況才能用這種方法解答，而它們的確切答案是已知的。這些情況通常設計穩定態（流場不隨時間變化）的非湍流，其中流體的粘滯係數很大或者其速度很小（小的雷諾數）。

對於更復雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統或機翼的升力，納維－斯托克斯方程的解必須藉助計算機。這本身是一個科學領域，稱為計算流體力學。雖然湍流是日常經驗中就可以遇到的，但這類問題極難求解。

一個價值一百萬美元的大獎由克雷數學研究所於2000年5月設立，獎給對於能夠幫助理解這一現象的數學理論作出實質性進展的任何人。

BSD猜想

BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通－戴爾猜想（Birchand Swinnerton－Dyer猜想），屬於世界七大數學難題之一。它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯絡。

BSD猜想陳述
　　給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等於它的L函式在1處的零點階數，且它的L函式在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的週期以及沙群有精確的等式關係。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch－Kato猜想。

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中最著名的是與同餘數問題的關係，從BSD猜想可以推出模8餘5，6，7的平方自由的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。

關於BSD猜想的破解，目前已知的進展是BSD猜想的陳述依賴於莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部分依賴於沙群的有限性猜想。

對於解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2以外均成立。而對於解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫1742年給尤拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，於是就寫信請教赫赫有名的大數學家尤拉幫忙證明，但是一直到死，尤拉也無法證明。

因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。尤拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。

如今關於這一猜想常見的陳述為尤拉的版本，把命題“任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和”記作“a＋b”。即任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關於偶數的哥德巴赫猜想”。

1966年，中國數學家陳景潤證明了“1＋2”成立，即“任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和”，但哥德巴赫猜想本身依然是一個未解的世界級難題。

從關於偶數的哥德巴赫猜想，可推出：任一大於7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關於奇數的哥德巴赫猜想”。若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。

弱哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為“哥德巴赫－維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”。

中國數學家與哥德巴赫猜想
　　華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。1936—1938年，他赴英留學，師從哈代研究數論，並開始研究哥德巴赫猜想，驗證了對於幾乎所有的偶數猜想。

1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數學研究所組織數論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題。參加討論班的學生，例如王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當好的成績。

1956年，王元證明了“3＋4”；同年，原蘇聯數學家阿·維諾格拉朵夫證明了“3＋3”；1957年，王元又證明了“2＋3”；潘承洞於1962年證明了“1＋5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1＋4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進後，證明了“1＋2”。

四色定理

四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數學猜想之一。四色定理的本質正是二維平面的固有屬性，即平面內不可出現交叉而沒有公共點的兩條直線。地圖四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。

四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。

而用數學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”這裡所指的相鄰區域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點就不叫相鄰的，因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

在問題提出後的歲月裡，曾有很多人證明了二維平面內無法構造五個或五個以上兩兩相連區域，但卻沒有將其上升到邏輯關係和二維固有屬性的層面，以致出現了很多偽反例。不過這些恰恰是對圖論嚴密性的考證和發展推動。

高速數字計算機的發明，促使更多數學家對“四色問題”的研究。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。

就在1976年6月，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億個判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。

但是，計算機證明無法給出令人信服的思考過程。計算機雖然做了百億次判斷，終究只是在龐大的數量優勢上取得成功，這並不符合數學嚴密的邏輯體系，至今仍有無數數學愛好者投身其中研究。

一個多世紀以來，數學家們為證明這條定理絞盡腦汁，所引進的概念與方法刺激了拓撲學與圖論的生長、發展。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。

例如，數學家們將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，“四色問題”在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程式上都起到了推動作用。

費馬大定理

費馬大定理，又被稱為“費馬最後的定理”，由17世紀法國數學家皮耶·德·費馬提出。定理斷言當整數n＞2時，關於x，y，z的方程x＾n＋y＾n＝z＾n沒有正整數解。費馬大定理提出後，曾經歷多人猜想辯證，歷經三百多年的歷史，最終在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底證明。

大約1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”

雖然費馬本人說自己已經發現了證法，但他畢竟沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學又貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容，推動了數論的發展。

大約在1850年前後，高斯的學生、德國數學家庫默爾看到唯一因子分解是否成立是尤拉、熱爾曼創立的企圖證明費馬大定理的方法關鍵，於是他創立了一種“理想數環”理論。

據說這一思想也受其老師高斯啟發，高斯表面上聲稱對費馬大定理不感興趣，實際上對n＝7久思不解。學生庫默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。

庫默爾之後近半個世紀，費馬大定理證明都停滯不前，1908年，格丁根皇家科學協會公佈沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者，將獲得10萬馬克獎勵。這一獎項還有一個頗有些傳奇意味的故事。

可以說正是數學讓沃爾夫斯凱爾先生重生，並在後來通過努力成為大富豪，1908年這位富豪死時，由此立下遺囑，將自己一半的遺產捐贈設獎，一方面以謝救命之恩，一方面也希望問題得到解決。

1986年，格哈德·弗賴提出，費馬大定理的真實性將使谷山－志村猜想一經證明之後的直接結果並演算出一個橢圓方程，於是，英國數學家安德魯·懷爾斯決定重新研究原來擱置的問題，並可以運用一些新的方法。經過7年的努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明。作為一個結果，他在前人工作的基礎上，終於證明了費馬大定理。